Wyjątkowo odchodzę dziś od tematyki klimatycznej. Jednak nie całkiem bo problemy błędów systematycznych są jednymi z najbardziej podwyższających temperaturę dyskusji o globalnym ociepleniu. A pretekstem będzie głośny w ostatnim czasie problem neutrin szybszych od światła. Ze względu na niesamowitą wręcz precyzję pomiaru czasu wymaganą w tym doświadczeniu jest to świetny przykład na to jak ważne jest uwzględnienie każdego zjawiska mogącego wpłynąć na uzyskany wynik. Czyli właśnie tytułowych błędów systematycznych.

Moje podejście do błędu pomiarowego jest typowe dla fizyków. Przy pomiarze dowolnej wielkości zawsze mamy błąd [1] polegający na odchyleniu zmierzonej wartości od prawdziwej [2] losowo w dowolną stronę. Na przykład jeśli mierzymy linijką to zaokrąglamy uzyskane wyniki do całych milimetrów, bo taka jest podziałka linijki. Czyli raz zawyżamy a raz zaniżamy wynik. Ten typ błędu nazywamy błędem statystycznym. Statystycznym bo jego wielkość zależy od ilości pomiarów: im więcej razy mierzymy tym mniejszy błąd mamy.

Jednak z wielu powodów możemy mieć także błędy, które zawsze zawyżają lub zaniżają wynik. Na przykład obserwator mierząc linijką zawsze patrzy na nią nie pionowo a z lewej strony (bo jest praworęczny) i przez to zawsze zawyża wynik o jeden milimetr. Albo przykłada do początku mierzonego odcinka nie zero na skali linijki, a jej początek (to częsty błąd). Lub po prostu ma złą linijkę, która jest nieco za długa lub nieco za krótka w stosunku do standardu metra. Te wszystkie błędy to błędy systematyczne [3]. W pomiarach naukowych staramy się je zidentyfikować i skorygować.

Zatem mówiąc krotko: błąd statystyczny staramy się oszacować i podawać go jako niepewność pomiaru a błąd systematyczny staramy się znaleźć i wyeliminować. I tu dochodzimy do naszego przykładu.

Otóż niedawno badający neutrina naukowcy pracujący w projekcie OPERA ogłosili, że podróżują one z CERN-u pod Genewy do Gran Sasso we Włoszech minimalnie szybciej niż światło (poniżej schemat eksperymentu, wzięty z artykułu, który zainspirował mnie do napisania tego wpisu). Wynik ten byłby rewolucyjny dla fizyki (o czym zaraz) gdyby był prawdziwy. Jednak najpierw trochę wyjaśnień co do natury eksperymentu. Otóż neutrina to cząstki elementarne niezwykle słabo oddziałujące z materią. W wyniku tego przenikają one przez naszą planetę równie łatwo jak światło przez atmosferę. Na szczęście jednak Ziemia nie jest dla nich idealnie przeźroczysta, dzięki temu można je wykrywać. A eksperyment polegał na właśnie wykrywaniu we Włoszech neutrin (w specjalnym ich detektorze) wyprodukowanych 732 km na północny-zachód w wyniku zderzeń protonów pochodzących z akceleratora cząstek w CERN z metalową płytą. Protony te mają olbrzymie energie (czyli prędkości bliskie prędkości światła) co powoduje, że wyprodukowane neutrina będą miały również duże prędkości, niektóre prawie równe prędkości światła w próżni.

Schemat eksperymentu OPERA

Do niedawna sądzono że neutrina, podobnie jak fotony, nie posiadają masy spoczynkowej i w związku z tym poruszają się dokładnie z prędkością światła. Teraz wiemy, że muszą one posiadać niewielką masę i w związku z tym podobnie jak inne cząstki podróżować muszą z prędkościami podświetlnymi. Wytłumaczyć to można na łonie szczególnej teorii względności i to na kilka sposobów, z których najbardziej popularny to argument iż obiekty o masie różnej od zera wymagałyby nieskończonej ilości energii na osiągniecie prędkości światła bo ich własna masa (relatywistyczna) także zwiększałaby się przy tym do nieskończoności.

Dlatego ogłoszony niedawno wynik, iż neutrina przebywały 732 km o 60 ns szybciej niż światło naruszałby szczególną teorię względności. Dla naukowca nie-fizyka może to nie brzmieć szczególnie rewolucyjnie. Cóż, teorie są od tego aby je falsyfikować, czyli starać się w nich znaleźć luki. Jednak szczególna teoria względności, teoria ogłoszona przez Einsteina w 1905 roku, wydaje się sprawdzona na tyle sposobów, że już chyba jest więcej niż „tylko” teorią. Nawet sam Karl Popper, autor koncepcji postępu nauki przez falsyfikowanie teorii przyznał na starość, w chwili słabości zapominając o falsyfikacji, że bomba atomowa dowodzi prawdziwości teorii względności.

Ale jest jeszcze gorzej. Obiekty z prędkościami nadświetlnymi nie tylko naruszają wielokrotnie sprawdzony gmach „relatywizmu” ale obalają same jego podstawy [4]. Bo jednym z założeń teorii względności jest to, że prędkość światła jest taka sama dla każdego obserwatora [5]. Inaczej mówiąc obserwatorzy poruszający się względem siebie nawet z prędkością nieomal równą prędkości światła i obserwując te same fotony (cząstki światła) zmierzą, iż poruszają się one względem każdego z nich z jednakową prędkością 300,000 km/s. To pozornie absurdalne założenie, wprowadzone przez Einsteina aby pogodzić prawa elektromagnetyzmu z mechaniką, okazało się wielokrotnie dokładnie zgodne z doświadczeniem (i przy okazji wyjaśniło słynne doświadczenie Michelsona-Morleya wykluczające istnienie eteru, o którym Einstein nie wiedział tworząc swoja teorię). Jeśli to założenie obalimy to obalimy dużą część współczesnej fizyki.

Oczywiście fizycy o niczym tak nie marzą jak o obaleniu dużej części fizyki. W końcu Nagrody Nobla nie dostaje się za potwierdzenie z dawna znanych faktów. Jednak tak mocne twierdzenia wymagają mocnych faktów eksperymentalnych. I tu dochodzimy do znaczenia błędów systematycznych.

Neutrina w tym eksperymencie dotarły do detektora, według ogłoszonych jego wyników, o zaledwie 60 nanosekund szybciej niż dotarłoby jednocześnie wysłane światło czyli o 1/40,000 prędkości światła szybciej niż samo światło (w próżni). A nanosekunda czyli jedna miliardowa część sekundy (10^-9 s) to czas w jaki światło przebywa zaledwie 30 cm. Czyli neutrina wyprzedziły światło o 18 metrów. Stwierdzenie tego nie byłoby trudne gdyby neutrina naprawdę ścigały się z fotonami. Jednak to niemożliwe bo fotony nie przenikają przez góry (jedynie włoska minister nauki błędnie twierdziła, że neutrina leciały z Szwajcarii tunelem – gdyby istniał, byłby to najdłuższy tunel świata). A to komplikuje pomiar prędkości neutrin. Musimy bowiem niezależnie i niezwykle dokładnie zmierzyć odległość jaką neutrina przebywają i czas jaki im to zajmuje (prędkość to iloraz tych dwu wielkości).

Z odległością jest dość łatwo. Mamy przecież GPS-y, a odpowiednio długi pomiar stacjonarnym GPS-em daje błąd rzędu centymetra (jak mówiłem błędy statystyczne średniej są tym mniejsze im więcej danych). Sami autorzy twierdzą, że osiągnęli tu dokładność rzędu 20 cm. Gorzej jednak z pomiarem czasu. Wymaga on niezwykle dokładnej synchronizacji zegarów w Szwajcarii i we Włoszech. Ale i tu można się posłużyć GPS-ami. Mianowicie pobierać czas na początku i końcu trasy neutrin z tego samego satelity GPS. Oczywiście trzeba uwzględnić jego pozycję, wpływ atmosfery na prędkość sygnału radiowego płynącego z satelity  (tak, jest ona mniejsza niż w próżni!) itp. itd. Czyli wyeliminować multum możliwych źródeł błędu systematycznego.

I naukowcy z projektu OPERA, którzy nad tym pracowali, zbadali wszystkie możliwe jego źródła jakie im przyszły do głowy. Ich analiza była znacznie dokładniejsza niż w olbrzymiej większości artykułów naukowych. Jednak zmierzony efekt był niewielki a waga problemu fundamentalna. Dlatego zdecydowali się na krok rzadko stosowany. Zamiast wysłać artykuł do Nature (najlepszego czasopisma naukowego bo ranga odkrycia była naprawdę wysoka), ogłosili wyniki na konferencji prasowej oraz wysłali manuskrypt artykułu do repozytorium arXiv.org [6] z wyraźną prośbą aby ich wyniki zrecenzował cały świat naukowy. I zrecenzował.

Piszę o tym dlatego, że wydaje się całkiem prawdopodobne, że istnieje jednak niezauważone źródło błędu systematycznego, tłumaczące większość (jeśli nie cały) zmierzonego efektu. W dodatku źródło tak trywialne, że powinien je zauważyć nawet student fizyki. I to wynikające wprost ze szczególnej teorii względności (rzekomo w tym eksperymencie obalonej). Mianowicie chodzi o problem jednoczesności w różnych układach odniesienia poruszających się względem siebie.

Nawet wielu nie-fizyków wie zapewne, że szczególna teoria względności przewiduje „spłaszczenie” ciał (a właściwie całych układów odniesienia) poruszających się w kierunku ruchu (tzw. „skrócenie Lorentza”) i wolniejszy w nich upływ czasu („dylatacje czasu”). To właśnie dzięki tym zjawiskom (zmianom długości linijek i prędkości chodzenia zegarków), prędkość światła mierzona w każdym z takich układów może być identyczna. W dodatku, co już pewnie wie mniej osób, dla każdego z obserwatorów to u tego drugiego czas płynie wolniej, a wszystko jest u niego spłaszczone (bo dla każdego to ten drugi jest w ruchu). Stąd właśnie „względność” czy „relatywizm” w nazwie tej teorii. Zapewne jednak jeszcze mniej osób wie, że wydarzania jednoczesne u jednego z takich obserwatorów nie są jednoczesne u drugiego. Jest to niezbędne aby obaj mogli opisywać w swoich układach odniesienia te same zjawiska. Względnie prosto to wyjaśnia tzw. paradoks samochodu i garażu (dokładnie opisany po angielsku np na tej stronie, z której też wziąłem użyte obrazki „garaży”).

W skrócie wyjaśnię to i ja. Powiedzmy, że do stojącego garażu o długości 4 metrów z drzwiami na obu końcach zbliża się z przyświetlną prędkością samochód o długości 6 metrów. Dla uproszczenia przyjmijmy, że ma prędkość tak wielką [7] iż jest skrócony relatywistycznie o połowę, czyli do 3 metrów. Jest zatem możliwe (teoretycznie) aby zdążyć za nim zamknąć pierwsze drzwi zanim otworzą się drugie, czyli, że przez chwilę zmieści się on w zamkniętym garażu (nad prędkością potrzebną do zamykania drzwi lepiej się nie zastanawiajmy, bo nie o to w tym ćwiczeniu chodzi).

Układ odniesienia garażu

Jednak w układzie odniesienia samochodu to garaż jest skrócony o połowę czyli ma 2 metry długości a samochód ma swoje „fabryczne” 6 metry długości. Czy jest zatem możliwe aby chociaż przez chwilę mieścił się w garażu? Oczywiście nie. Więc teoria względności ma lukę? Nie ma i to właśnie dzięki różnicy w jednoczesności w obu układach. W układzie odniesienia samochodu nigdy jedne i drugie drzwi nie są zamknięte równocześnie, gdyż dla samochodu i jego pasażerów tylne drzwi są już otwarte gdy przednie jeszcze się nie zamknęły (samochód wystaje przez chwilę z obu stron). Można to pokazać matematycznie ale tu ważne jest tylko to, że bez tego zjawiska relatywizm byłby wewnętrznie sprzeczną teorią.

Układ odniesienia samochodu (uwaga: środkowego rysunku nie należy interpretować jako rozbijanie drzwi, jedne i drugie drzwi powinny być na nim narysowane jako otwarte)

Czemu o tym piszę? Bo naukowcy z projektu OPERA szukający błędów systematycznych popełnili dziecinny błąd zapominając o tym zjawisku. Mianowicie synchronizowali oni zegary przy pomocy czasu z satelity poruszającego się kilka kilometrów na sekundę i w dodatku (przypadkiem bo takie są orbity satelitów GPS) w tym samym kierunku co neutrina, z północnego zachodu na południowy wschód. Synchronizacja zegarów sygnałem z tego satelity oznacza jednoczesność w jego układzie odniesienia. A nie jest to system odniesienia związany z Ziemią, w którym mierzono prędkość neutrin. Różnica jest minimalna, dlatego nigdy przedtem nie miało to znaczenia. Jednak ta minimalna różnica to w tym wypadku 32 ns, czyli ponad połowa wykrytego efektu. Błąd ten wykryty został przez Ronalda van Elbruga z Uniwersytetu Groningen w Holandii, który również zamieścił swój manuskrypt na serwerze arXiv.org [8]

W dodatku van Elburg w swoim artykule sugeruje, że sposób (nie podany precyzyjnie przez autorów z projektu OPERA) w jaki korygowano czas „lotu” sygnału GPS z satelity mógł spowodować podwojenie tego efektu (czyli dodanie tego samego błędu drugi raz). Inaczej mówiąc „w najgorszym przypadku” całkowity błąd systematyczny powodował zaniżenie czasu przelotu neutrin o 64 ns. A to by znaczyło, że w rzeczywistości podróżowały one o 4 ns dłużej niż zajęłoby to światłu w próżni. Czyli wszystko zgodnie ze szczególną teoria względności.

Mój ulubiony uważny czytelnik powinien w tym miejscu spytać czy to rzeczywiście dowodzi, że projekt OPERA popełnił szkolny błąd. Tak naprawdę jeszcze nie wiemy. To zależy od szczegółów synchronizacji zegarów zastosowanej w projekcie. Jednak ponieważ nigdzie nie wspominali oni o uwzględnieniu relatywistycznego problemu jednoczesności to zapewne przynajmniej połowa ich „anomalii” już zniknęła. Być może nawet cała.  I w tym momencie chciałbym wrócić do błędu systematycznego. Otóż projekt OPERA stosował, inaczej niż ja, „nowoczesne” podejście i podał swoją nadwyżkę prędkości w stosunku do prędkości światła w próżni jako (2.48 ± 0.28 (stat.) ± 0.30 (sys.))×10⁻⁵. Czyli uwzględnili oni nie tylko symetryczny względem zmierzonej wartości błąd statystyczny to jeszcze spróbowali oszacować (zgodnie z najnowszą „modą”) także błąd systematyczny, również jako błąd symetryczny względem wyniku pomiaru. I tu rzeczywistość wystrychnęła ich na dudka. Jeśli van Elburg ma rację (a na to wygląda), to błąd systematyczny był znacznie wyższy niż wynikało z „metrologicznej” oceny, której wyniki podsumowano w Tabeli 2 ich manuskryptu.

Reasumując, czy zatem jeśli van Elburg ma rację to teoria Einsteina jest uratowana? Nawet lepiej. Jeśli to prawda, uzyskałaby ona nowe piękne potwierdzenie doświadczane. A my wszyscy lekcję o znaczeniu błędu systematycznego w doświadczeniu fizycznym.

[1] Współcześnie coraz częściej stosuje się nazwę niepewność zamiast tradycyjnej błąd. Jednak ponieważ nadal mówimy o błędzie statystycznym i błędzie systematycznym nie będę niepotrzebnie mnożył bytów i pozostanę przy słowie „błąd”.

[2] Fizyk oczywiście wierzy, że istnieje jakaś prawdziwa wartość mierzonej wartości (z dokładnością na jaką pozwala teoria kwantów, ale ona nie jest ograniczeniem w przypadku eksperymentów makroskopowych jak opisywany w tym wpisie). Inne poglądy zostawiamy filozofom bo i tak nie prowadzą one (i nie mogą prowadzić wręcz z definicji) do poznania realnego świata.

[3] Metrolodzy współcześnie często definiują ten rodzaj błędu inaczej i nazywają inaczej. Długo można by dyskutować dlaczego w zastosowaniach naukowych ich podejście, polegające na próbie raczej ustalenia jak wielki może być błąd systematyczny i dodania tej wartości z obu stron do błędu statystycznego jest często gorsze w praktyce od opisywanego przeze mnie (cały ten wpis jest na to przykładem) chociaż czasem jest to uzasadnione (np. tzw. „propagacja” błędu danych wejściowych). Piszę o tym bo komentarze do moich poprzednich wpisów zawierają już trochę dyskusji tego zagadnienia.
Dodane 29.10.2011: Na przykład w polskiej Wikipedii panuje całkowity bałagan w tej kwestii. Hasło niepewność pomiaru jest przepisana z jakiegoś podręcznika metrologii i nawet błąd systematyczny nazywa niepewnością systematyczną. Jednak link do „niepewności systematycznej” prowadzi i tak do hasła „błąd systematyczny„, która już napisana jest zgodnie z podejściem jakiego mnie nauczono na studiach fizyki i jakie przedstawiam w tym wpisie.

[4] Reich ES (2011). Speedy neutrinos challenge physicists. Nature, 477 (7366) PMID: 21956307

[5] Dokładniej dla każdego obserwatora w układzie inercyjnym czyli nie podlegającemu przyśpieszeniu, w tym także działaniu grawitacji. Takich obserwatorów Einstein „załatwił” 11 lat później ogłaszając Ogólną Teorie Względności ale w tym wpisie nie będziemy o tym mówić.

[6] The OPERA Collaboraton: T. Adam, N. Agafonova, A. Aleksandrov, O. Altinok, P. Alvarez Sanchez, S. Aoki, A. Ariga, T. Ariga, D. Autiero, A. Badertscher, A. Ben Dhahbi, A. Bertolin, C. Bozza, T. Brugiére, F. Brunet, G. Brunetti, S. Buontempo, F. Cavanna, A. Cazes, L. Chaussard, M. Chernyavskiy, V. Chiarella, A. Chukanov, G. Colosimo, M. Crespi, N. D’Ambrosios, Y. Déclais, P. del Amo Sanchez, G. De Lellis, M. De Serio, F. Di Capua, F. Cavanna, A. Di Crescenzo, D. Di Ferdinando, N. Di Marco, S. Dmitrievsky, M. Dracos, D. Duchesneau, S. Dusini, J. Ebert, I. Eftimiopolous, O. Egorov, A. Ereditato, L. S. Esposito, J. Favier, T. Ferber, R. A. Fini, T. Fukuda, A. Garfagnini, G. Giacomelli, C. Girerd, M. Giorgini, M. Giovannozzi, J. Goldberga, C. Göllnitz, L. Goncharova, Y. Gornushkin, G. Grella, F. Griantia, E. Gschewentner, C. Guerin, A. M. Guler, C. Gustavino, K. Hamada, T. Hara, M. Hierholzer, A. Hollnagel, M. Ieva, H. Ishida, K. Ishiguro, K. Jakovcic, C. Jollet, M. Jones, F. Juget, M. Kamiscioglu, J. Kawada, S. H. Kim, M. Kimura, N. Kitagawa, B. Klicek, J. Knuesel, K. Kodama, M. Komatsu, U. Kose, I. Kreslo, C. Lazzaro, J. Lenkeit, A. Ljubicic, A. Longhin, A. Malgin, G. Mandrioli, J. Marteau, T. Matsuo, N. Mauri, A. Mazzoni, E. Medinaceli, F. Meisel, A. Meregaglia, P. Migliozzi, S. Mikado, D. Missiaen, K. Morishima, U. Moser, M. T. Muciaccia, N. Naganawa, T. Naka, M. Nakamura, T. Nakano, Y. Nakatsuka, D. Naumov, V. Nikitina, S. Ogawa, N. Okateva, A. Olchevsky, O. Palamara, A. Paoloni, B. D. Park, I. G. Park, A. Pastore, L. Patrizii, E. Pennacchio, H. Pessard, C. Pistillo, N. Polukhina, M. Pozzato, K. Pretzl, F. Pupilli, R. Rescigno, T. Roganova, H. Rokujo, G. Rosa, I. Rostovtseva, A. Rubbia, A. Russo, O. Sato, Y. Sato, A. Schembri, J. Schuler, L. Scotto Lavina, J. Serrano, A. Sheshukov, H. Shibuya, G. Shoziyoev, S. Simone, M. Sioli, C. Sirignano, G. Sirri, J. S. Song, M. Spinetti, N. Starkov, M. Stellacci, M. Stipcevic, T. Strauss, P. Strolin, S. Takahashi, M. Tenti, F. Terranova, I. Tezuka, V. Tioukov, P. Tolun, T. Tran, S. Tufanli, P. Vilain, M. Vladimirov, L. Votano, J. -L. Vuilleumier, G. Wilquet, B. Wonsak, J. Wurtz, C. S. Yoon, J. Yoshida, Y. Zaitsev, S. Zemskova, & A. Zghiche (2011). Measurement of the neutrino velocity with the OPERA detector in the CNGS beam unpublished arXiv: 1109.4897v1

[7] Jeśli kogoś to interesuje to musiałby on mieć prędkość równą pierwiastkowi z trzech podzielonemu przez dwa i pomnożonemu przez prędkość światła – czyli około 260,000 km/s.

[8] Ronald A. J. van Elburg (2011). Time-of-flight between a Source and a Detector observed from a Satellite unpublished arXiv: 1110.2685v3